Kalkulus 1

1.1
Bilangan Real

Berikut diuraikan beberapa macam bilangan.

Bilangan Asli (Natural) $$\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$$
Bilangan Bulat $$\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$$
Bilangan Rasional $$\mathbb{Q}=\left\{\left.\frac{p}{q}\,\right|\,p,q\in\mathbb{Z};q\neq0\right\}$$ Bilangan rasional dapat ditulis dalam bentuk desimal berulang.
Bilangan Irasional
Bilangan irasional merupakan bilangan yang tidak dapat ditulis dalam bentuk pecahan $\frac{p}{q}$, dimana $p,q\in\R$ dan $q\neq0$. Bilangan irasional tidak mempunyai bentuk desimal berulang.
Bilangan Real
Bilangan real ($\R$) merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan bilangan irasional.

Definisi 1.1.1.(Bilangan Real)

Bilangan real memiliki sifat-sifat antara lain:

Sifat Aljabar
Jika $a,b,$ dan $c$ adalah bilangan real, maka berlaku:
1. $a+b=b+a$ (sifat komutatif penjumlahan).
2. $(a+b)+c=a+(b+c)$ (sifat asosiatif penjumlahan).
3. $a+0=a$ (sifat identitas penjumlahan).
4. $a+(-a)=0$ (sifat invers penjumlahan).
5. $a\cdot b=b\cdot a$ (sifat komutatif perkalian).
6. $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)$ (sifat asosiatif perkalian).
7. $a\cdot 1=a$ (sifat identitas perkalian).
8. $a\cdot\dfrac{1}{a}=1$ (sifat invers perkalian).
9. $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ (sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan).
Sifat Keterurutan
Jika $a$ dan $b$ dua bilangan real, maka pasti memenuhi salah satu sifat berikut.
1. $a$ lebih kecil dari $b$, ditulis $a<b$, jika titik $a$ di kiri titik $b$.
2. $a$ lebih besar dari $b$, ditulis $a>b$, jika titik $a$ di kanan titik $b$.
3. $a$ sama dengan $b$, ditulis $a=b$, jika titik $a$ tepat berhimpit dengan titik $b$.
Sifat Kepadatan
Jika $a$ dan $b$ bilangan real yang berbeda, misal $a<b$, maka ada bilangan real $c$ sehingga $a < c <b$. Oleh karena itu, garis bilangan adalah benar-benar utuh (padat) tidak ada bagian yang terputus.

Teorema 1.1.1.

Diberikan bilangan-bilangan real $p,q,r,$ dan $s$:

Jika $p<q$ dan $q<r$, maka $p<r$.
Jika $p<q$, maka $p+r<q+r$ dan $p-r<q-r$.
Jika $p<q$, maka $pr<qr$ untuk $r>0$ dan $pr>qr$ untuk $r<0$.
Jika $p<q$ dan $r<s$, maka $p+r<q+s$.
Jika $p$ dan $q$ keduanya positif atau keduanya negatif dan $p<q$, maka $\frac{1}{p}>\frac{1}{q}$.

Catatan: Kelima sifat tersebut tetap benar untuk tanda pertidaksamaan $\geq$ dan $\leq$.

Himpunan bilangan real atau himpunan bagiannya sering dinyatakan dalam bentuk interval atau selang. Berikut ditampilkan berbagai jenis interval.

Notasi Interval	Notasi Himpunan	Gambar Geometrik
$[a, b]$	$\{x : a \leq x \leq b\}$
$(a, b]$	$\{x : a < x \leq b\}$
$[a, b)$	$\{x : a \leq x < b\}$
$(a, b)$	$\{x : a < x < b\}$
$(-\infty, b]$	$\{x : x \leq b\}$
$(-\infty, b)$	$\{x : x < b\}$
$[a, \infty)$	$\{x : x \geq a\}$
$(a, \infty)$	$\{x : x > a\}$
$(-\infty, \infty)$	$\{x : x \in \mathbb{R}\}$

Himpunan penyelesaian dari suatu pertidaksamaan merupakan himpunan semua nilai $x$ yang menyebabkan pertidaksamaan tersebut bernilai benar. Langkah awal dalam menyelesaikan pertidaksamaan bilangan real adalah menyederhanakan bentuk pertidaksamaan dan hanya menyisakan $0$ pada salah satu sisi sehingga penyelesaian dapat dicari dengan melihat tanda dari ruas yang lain. Terdapat $2$ metode untuk melakukan hal ini, yaitu metode perkalian tanda dan titik uji. Misalkan faktor $(x-a)(x-b)$ tandanya dapat berubah pada titik $x=a$ dan $x=b$ yang disebut sebagai titik pemisah.

Pada metode perkalian tanda, tanda pada tiap interval yang dibatasi titik $x=a$ dan $x=b$ ditentukan dengan melihat tanda $(x-a)$ dan $(x-b)$ pada tiap interval, lalu menentukan tanda $(x-a)(x-b)$.
Pada metode titik uji, penentuan tanda $(x-a)(x-b)$ dilakukan dengan mengambil satu titik (selain titik pemisah) sebagai titik uji. Tanda yang dihasilkan dari titik uji merupakan tanda dari interval dimana titik tersebut berada. Adapun suatu titik pemisah ketika berasal dari faktor yang berpangkat ganjil akan mengubah tanda dan titik pemisah ketika berasal dari faktor yang berpangkat genap tidak akan mengubah tanda.

Contoh 1

Harga komoditi $A$ dan komoditi $B$ mempunyai hubungan dalam bentuk $A=\frac{7}{3}(B-49)$. Pada saat harga komoditi $A$ bergerak pada interval $21\leq A\leq 35$, bagaimanakan harga komoditi $B$?

Pembahasan

Diberikan $A=\frac{7}{3}(B-49)$ dan $21\leq A\leq 35$. \begin{align*} 21\leq A\leq 35\\ 21\leq \frac{7}{3}(B-49)\leq 35\\ \frac{3}{7}.21\leq \frac{3}{7}.\frac{7}{3}(B-49)\leq \frac{3}{7}.35\\ 9\leq B-49\leq 15\\ 9+49\leq B-49+49\leq 15+49\\ 58\leq B\leq 64 \end{align*} Diperoleh bahwa harga komoditi $B$ berada pada interval $58\leq B\leq 64$.

Contoh 2

Tentukan semua nilai bilangan real $x$ yang memenuhi pertidaksamaan yang diberikan. $$\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}\geq 0.$$

Pembahasan

Perhatikan bahwa nilai faktor yang berada dalam akar selalu tak negatif. $$\frac{x+2}{x-1}\geq0,$$ dimana $x-1\neq 0\implies x=1$. Terdapat $2$ titik pemisah, yaitu: $$x+2=0\implies x=-2$$ $$x-1=0\implies x=1$$ Kedua titik pemisah tersebut membagi himpunan bilangan real menjadi $3$ interval yang dengan metode perkalian tanda menghasilkan nilai $\displaystyle \frac{x+2}{x-1}$ berikut.

Titik $x$ pada interval	Tanda $(x+2)$	Tanda $(x-1)$	Tanda $\displaystyle \frac{x+2}{x-1}$
$(-\infty,-2)$	$-$	$-$	$+$
$(-2,1)$	$+$	$-$	$-$
$(1,+\infty)$	$+$	$+$	$+$

Berdasarkan tabel di atas, didapati interval yang memenuhi $\displaystyle \frac{x+2}{x-1}\geq0$ adalah $(-\infty,-2]\cup(1,+\infty)$. Dengan demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaan $\displaystyle \sqrt{\frac{x+2}{x-1}}\geq 0$ adalah $$HP=\{x\,|\,x\leq-2\cup x>1,x\in\R\}=(-\infty,-2] \cup (1,+\infty).$$

Contoh 3 (ETS 2019/2020)

Tentukan penyelesaian dari $$\frac{3}{2-x}\geq\frac{4}{2x-3}.$$

Pembahasan

Pertama-tama, sederhanakan bentuk pertidaksamaan. \begin{align*} \frac{3}{2-x}&\geq\frac{4}{2x-3}\\ \frac{3}{2-x}-\frac{4}{2x-3}&\geq0\\ \frac{3(2x-3)-4(2-x)}{(2-x)(2x-3)}&\geq0\\ \frac{6x-9-8+4x}{(2-x)(2x-3)}&\geq0\\ \frac{10x-17}{(2-x)(2x-3)}&\geq0, \end{align*} dimana $2-x\neq0\implies x\neq2$ dan $2x-3\neq0\implies x\neq\frac{3}{2}$. Terdapat $3$ titik pemisah, yaitu: $$10x-17=0\implies x=\frac{17}{10}$$ $$2-x=0\implies x=2$$ $$2x-3=0\implies x=\frac{3}{2}$$ Ketiga titik pemisah tersebut membagi himpunan bilangan real menjadi $4$ interval yang akan dicari masing-masing tandanya dengan metode titik uji. Ambil $x=0$ pada interval $(-\infty,3/2)$ dan didapati nilai $x$ tersebut menyebabkan $\displaystyle \frac{10x-17}{(2-x)(2x-3)}>0$. Ketiga titik pemisah berasal dari faktor berpangkat $1$ (ganjil) sehingga tanda dari tiap interval digambarkan pada garis bilangan berikut. Gambar 1.1.11

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari $\displaystyle \frac{3}{2-x}\geq\frac{4}{2x-3}$ adalah $$\left\{x\Big|x<\frac{3}{2}\cup\frac{17}{10}\leq x <2,x\in\R\right\}=\left(-\infty,\frac{3}{2}\right)\cup\left[\frac{17}{10},2\right).$$

Latihan!

ETS 2023/2024

Selesaikan pertidaksamaan berikut: $$\sqrt{x^2-6x+9}-3x\geq 12.$$

Jawab:

Lihat Solusi

Ingat bahwa ekspresi di dalam akar selalu bernilai tak negatif. \begin{align*} x^2-6x+9\geq0\\ (x-3)^2\geq0 \end{align*} Semua bilangan real $x$ menghasilkan nilai $(x-3)^2\geq0$. Sekarang, tinjau pertidaksamaan berikut. \begin{align*} \sqrt{x^2-6x+9}-3x&\geq 12\\ \sqrt{x^2-6x+9}&\geq 3x+12 \end{align*} Semua nilai $x$ yang menyebabkan $3x+12\leq0$ sudah pasti benar karena hasil dari akar pasti tak negatif. $$3x+12\leq0\implies x\leq-4\dots(i)$$ Adapun semua nilai $x$ yang menyebabkan $3x+12>0$ termasuk penyelesaian jika memenuhi pertidaksamaan berikut. \begin{align*} (\sqrt{x^2-6x+9})^2&\geq (3x+12)^2\\ x^2-6x+9&\geq 9x^2+72x+144\\ 0&\geq 8x^2+78x+135\\ 8x^2+78x+135&\leq0\\ (2x+15)(4x+9)&\leq0 \end{align*} Terdapat $2$ titik pemisah, yaitu: $$2x+15=0\implies x=-\frac{15}{2}$$ $$4x+9=0\implies x=-\frac{9}{4}$$ Kedua titik pemisah tersebut membagi himpunan bilangan real menjadi $3$ interval yang dengan metode perkalian tanda menghasilkan nilai $(2x+15)(4x+9)$ berikut.

Titik $x$ pada interval	Tanda $(2x+15)$	Tanda $(4x+9)$	Tanda $(2x+15)(4x+9)$
$(-\infty,-15/2)$	$-$	$-$	$+$
$(-15/2,-9/4)$	$+$	$-$	$-$
$(-9/4,+\infty)$	$+$	$+$	$+$

Berdasarkan tabel di atas, didapati interval yang memenuhi $(2x+15)(4x+9)\leq0$ adalah $[-15/2,-9/4]\dots(ii)$. Dengan demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaan $(2x+15)(4x+9)\leq0$ adalah gabungan dari $(i)$ dan $(ii)$, yaitu: $$\boxed{\left\{x\Big|x \leq -\frac{9}{4},x\in\R\right\}=\left(-\infty,-\frac{9}{4}\right].}$$

ETS 2023/2024

Dapatkan himpunan penyelesaian pertidaksamaan $$2\leq\frac{x^2+1}{x}<x+3$$

Jawab:

Lihat Solusi

Pertidaksamaan $\displaystyle 2\leq\frac{x^2+1}{x}<x+3$ dapat dipecah menjadi $2$ pertidaksamaan, yaitu: $$\frac{x^2+1}{x}\geq2\dots(i)$$ $$\frac{x^2+1}{x}< x+3\dots(ii)$$ dimana $x\neq0$.

Untuk $\displaystyle \frac{x^2+1}{x}\geq2$ \begin{align*} \frac{x^2+1}{x}&\geq2\\ \frac{x^2+1}{x}-2&\geq0\\ \frac{x^2+1}{x}-\frac{2x}{x}&\geq0\\ \frac{x^2-2x+1}{x}&\geq0\\ \frac{(x-1)^2}{x}&\geq0 \end{align*} Nilai $(x-1)^2$ selalu bernilai tak negatif sehingga tanda dari $\displaystyle \frac{(x-1)^2}{x}$ hanya dipengaruhi oleh nilai penyebutnya, yaitu $x$. Jika $x<0$, maka $\displaystyle \frac{(x-1)^2}{x}\leq0$. Adapun jika $x>0$, maka $\displaystyle \frac{(x-1)^2}{x}\geq0$. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari $\displaystyle \frac{(x-1)^2}{x}\leq0$ adalah $$\{x|x>0,x\in\R\}=(0,+\infty).$$
Untuk $\displaystyle\frac{x^2+1}{x}< x+3$ \begin{align*} \frac{x^2+1}{x}&< x+3\\ \frac{x^2+1}{x}-(x+3)&<0\\ \frac{x^2+1}{x}-\frac{x(x+3)}{x}&<0\\ \frac{x^2+1-(x^2+3x)}{x}&<0\\ \frac{x^2+1-x^2-3x}{x}&<0\\ \frac{1-3x}{x}&<0\\ \end{align*} Terdapat $2$ titik pemisah, yaitu: $$1-3x=0\implies x=\frac{1}{3}$$ $$x=0$$ Kedua titik pemisah tersebut membagi himpunan bilangan real menjadi $3$ interval yang akan dicari masing-masing tandanya dengan metode titik uji. Ambil $x=1$ pada interval $(1/3,+\infty)$ dan didapati nilai $x$ tersebut menyebabkan $\displaystyle \frac{1-3x}{x}<0$. Kedua titik pemisah berasal dari faktor berpangkat $1$ (ganjil) sehingga tanda dari tiap interval digambarkan pada garis bilangan berikut. Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari $\displaystyle \frac{1-3x}{x}<0$ adalah $$\left\{x\Big|x<0\cup x>\frac{1}{3},x\in\R\right\}=(-\infty,0)\cup\left(\frac{1}{3},+\infty\right).$$

Adapun himpunan penyelesaian dari $\displaystyle 2\leq\frac{x^2+1}{x}<x+3$ adalah irisan dari penyelesaian pertidaksamaan $(i)$ dan $(ii)$, yaitu: $$\left\{x\,\Big|\,x>\frac{1}{3},x\in\R\right\}=\left(\frac{1}{3},+\infty\right).$$

Titik \(x\) pada interval	Tanda \((x+2)\)	Tanda \((x-1)\)	Tanda \(\displaystyle \frac{x+2}{x-1}\)
\((-\infty,-2)\)	\(-\)	\(-\)	\(+\)
\((-2,1)\)	\(+\)	\(-\)	\(-\)
\((1,+\infty)\)	\(+\)	\(+\)	\(+\)

1.1 Bilangan Real

1.1
Bilangan Real